陶哲轩对数学学习的一些建议

网上对于陶哲轩对数学学习的一些建议和一些数学学习建议的相关题，大家关注度都比较高，小编为你整理了知识。

图片来自mozzchiorg

一些老生常谈的话

正如我之前所说，我没有数学和学业成功的秘密公式或一刀切的处方。不过，我可以提供一些一般性建议。

编者注原文分为25节。陶哲轩在他的博客上按照学术生涯的各个阶段对文章进行了划分。此翻译仅是部分内容。

1数学不仅仅是分数、测试和解决题的程序

对于本科生来说，平均绩点和考试很重要。考试往往更强调技术和理论的记忆，而不是对概念的真正理解或理性直观的思维。

然后，当你进入研究生阶段后，你会发现更高层次的数学学习，更重要的是数学研究需要你的智慧和智力，而不仅仅是记忆或学习的能力，或者复制一些现有的论点或例子。这往往会导致人们至少放弃改变很多本科生的学习习惯。为了提高你的理解力，你需要自我激励去学习和实验，而不是专注于考试等一些人为的基准。另外，由于本科阶段主要教授的是几十年甚至几个世纪前发展起来的成熟而优美的理论，因此在研究生阶段你会遇到更多前沿、有趣的“活”内容。

2数学不仅仅是严谨和证明

当本科生数学第一次在学校教授时，他们经常使用直观、非正式的方法来表达导数和积分，例如斜率和面积，然后被告知使用更精确和正式的方法，例如epsilon和delta来描述导数。解决并思考题。

当然，知道如何严格推理很重要，因为它可以让你避免一些常见的错误并排除一些幻想。不幸的是，这也将一些通过“模糊”、直觉思维所能得到的意想不到的结果扔掉为“松懈”。通常，如果一个人放弃了自然直觉，就只能做一些常规的数学。

严谨并不意味着抛弃所有直觉，而是意味着剔除那些错误的直觉，提取并保留正确的直觉。复杂的数学题只能通过严格的形式主义与直觉相结合来解决前者用于正确解决一些细节，后者用于把握整体。缺少其中任何一个都会让你在黑暗中摸索很长一段时间。因此，当你熟悉了严格的数学思维后，你应该重新审视你的直觉，并利用你新发现的思维技能来检查和完善这些直觉，而不是抛弃它们。要达到的理想状态是，每一次探索性论证都会自然地导致严谨论证，反之亦然。

3努力

当事情变得艰难时，你也许可以依靠聪明才智暂时取得成功，但通常这在研究生或更高水平的学术研究中是不可能的。学习任何数学领域都需要一定量的阅读和写作，而不仅仅是思考。与普遍看法相反，数学突破不仅仅由天才的“尤里卡”推动，而是由经验和直觉指导下的大量艰苦工作推动的。

魔鬼总是在细节中如果你认为你理解了数学的一小部分，那么在阅读相关文献后，你应该能够通过写一个关于它如何推理和如何工作的摘要来“支持”它。写出关于该主题的完整而详细的讨论。

如果一个人能够提出大想法并让其他“小人物”处理细节，那就太好了。但请相信我，数学领域根本不是那样的。过去的经验表明，只有那些有足够细节和证据支持宏大想法的论文才值得花时间和精力。如果这个想法的发起者不愿意这样做，那么就没有人愿意这样做。

4享受你的工作

从某种意义上说，这是前一个的必然结果。

如果你不喜欢自己正在做的事情，就很难保持长期成功的动力。最好是在你喜欢的数学领域工作，而不是随波逐流。

5不要根据名气和魅力做出职业决定

仅仅因为个人魅力就进入一个领域或部门并不是一个好主意。

仅仅因为一个领域中最著名的题很出名就关注它也是不好的。

数学没有那么多的声望和魅力，也不值得将它们作为你的主要目标。任何引人入胜的题的竞争都是激烈的。只有那些基础扎实的人才更有可能取得成功。

一个众所周知的未解决题往往几个月都没有得到解决。如果一个人一开始就花时间解决简单的模式题，获得技能、直觉、部分结果、内容和文档，那么当机会出现时，就可以解决实际题。在处理大题之前，先积累富有成效的解决题的方法，并消除那些没有成效的方法。

有时候，一个大题相对容易解决，只是因为那些拥有正确工具的人没有机会看到它，但对于深入研究的题，这种情况很少发生，特别是那些已经排除了整个解决方案的题因为发现了那么多行不通的定理和反例。

出于同样的原因，你不应该为了获和出名而学习数学；从长远来看，单纯为了学好数学并为自己的领域做出贡献而追求数学是更好的策略，获和名声自然会随之而来。

6.学习和再学习

在这个行业，永远不要停止学习，即使是在你的专业领域。例如，十年来我一直在学习一些关于基本调和分析的令人惊奇的东西，尽管我已经写了几篇关于它的论文。

仅仅因为您知道某个命题的证明和某个基本引理，您就不应该认为该引理是理所当然的——

即使上述题纯粹是针对您自己而言，它们在讲课或撰写讲义或其他解释材料时也很有用。最终，您可以使用有效的心理速记法来吸收非常困难的东西，不仅可以让您更有效地使用它们，还可以释放更多的大脑空间来学习更多内容。

7.不要害怕学习自己领域之外的东西。

对数学的恐惧在社会上很常见。不幸的是，这种现象有时也会发生在专业数学家身上。如果你必须学习一些额外的数学才能在你的研究题上取得进展，这是一件好事——你的知识范围将会扩大，你的工作也会变得更有趣，无论是对于你研究领域的人还是其他领域的人来说。

如果一个领域很活跃，那么就值得研究它为何如此有趣、人们试图解决什么类型的题，以及有哪些很酷或令人惊讶的见解和结果。这样，如果您在工作中遇到类似的题、障碍或现象，您就会知道到哪里寻找解决方案。

8.了解您使用的工具的局限性

数学教育就是关于有效的事情。但了解该工具的局限性也同样重要。

这样你就不会把时间浪费在本来就注定会失败的策略上，而是寻找新的工具来解决题。因此，了解一些反例或易于分析的模型与了解您使用的工具可以解决和不能解决的题同样重要。

了解在什么情况下一种工具会被另一种方法取代以及每种方法的优缺点也很有价值。当没有其他方法获得或理解案并且您需要更好地理解该工具时，神秘地解决题的工具被视为魔杖。

9.学习其他数学家使用的工具

这是上述讨论的必然结果。当听别人说话或者看论文的时候，你会发现自己感兴趣的题都是通过不熟悉的工具来解决的，而这个工具似乎并不在自己的“包”里。

发生这种情况时，您应该看看您自己的工具是否可以完成类似的任务。您还应该了解为什么其他工具如此有效。例如，找到该工具执行奇怪操作的最简单模型。

一旦您很好地比较了新旧工具的优缺点，您就能够想到这些工具在未来可能派上用场的情况。经过足够的练习，您可以将该技能点永久添加到您的技能树中。

10默默地自己然后回

当你学习数学时，无论你是在看书还是在听讲座，你通常只会看到最后的结果——非常完美、辉煌和优雅。然而，数学发现的过程往往是非常混乱的，许多尝试都是幼稚的、徒劳的或无趣的。

尽管人们很容易忽视这些“失败”，但事实上，它们往往是深入理解某一学科所必需的，并且通过不断排除，我们最终会走向成功之路。因此，不要害怕“愚蠢”的题并挑战传统智慧。这些题的案有时会得出令人惊讶的结论，但它们通常会告诉您为什么传统智慧首先存在，这是非常值得了解的。

例如，给定一个标准引理，您可以如果删除一个假设会发生什么；或者你可以尝试加强结论。如果一个简单的结果通常用方法X证明，考虑是否可以用方法Y证明。新的证明方法可能不如原来的方法那么优雅，或者可能根本不起作用，但无论如何，它是尝试理解方法X和Y的相对能力。这在证明不太标准的引理时很有用。

11质疑你的工作

如果你意外地发现自己几乎不费吹灰之力就解决了一个题，并且不太明白为什么，你应该以怀疑的眼光重新检查你的解决方案，特别是如果你使用的方法可能被证明更强大，但你已经知道了是一个错误的结论。这意味着您使用的方法有缺陷。

同样，如果你想证明一些雄心勃勃的主张，你应该首先尝试找到反例。一旦找到，您就可以节省很多时间。或者你遇到了一些困难，这应该会给你一些线索来证明这一点。——告诉你一些必须消灭的“敌人”才能证明结论。事实上，将这种怀疑主义应用到数学家的断言上并不是一个坏主意。

如果什么也没找到，它也可以帮助您了解为什么该断言是正确的以及它的真实强度。

后续内容请见陶哲轩博客原文

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